Question

已知椭圆E：（a）的离心率e=．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）椭圆方程中给出了短半轴长，结合离心率等于即可求出a的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆的对称性可知圆心在x轴上，把x=t和椭圆方程联立求出圆的半径，然后由弦心距公式求出AB的长，代入面积公式后利用基本不等式求最值．
解答：解：（1）∵椭圆E：（a）的离心率e=，
∴，解得a=2．
∴椭圆E的方程为；
（2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
由，得．
∴圆C的半径为r=．
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜，即0＜t＜．
∴弦长|AB|=2．
∴△ABC的面积S=
=．
当且仅当，即时等号成立．
所以△ABC的面积的最大值为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．