Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点恰好是抛物线C：y²=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点．过点A的直线l交抛物线C于M，N两点，满足OM⊥ON，其中O是坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q．若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设直线l：x=a+my代入抛物线方程设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理可求得y₁+y₂和y₁y₂，进而求得x₁x₂，进而根据OM⊥ON得

OM

•

ON

进而求得a和b，则椭圆方程可得．
（2）先看当QM为等腰△QMN的底边时，进而推断出O是线段MQ的中点，求得m；再看当QN为等腰△QMN的底边时，根据y₁y₂=-16，求得m，则直线方程可得．

解答：解：（1）F（1，0），∴a²-b²=1，A（a，0），
设直线l：x=a+my代入y²=4x中，
整理得y²-4my-4a=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

y1+y2=4m y1y2=-4a

，
又∵?y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴?x1x2=

y 2 1 • y 2 2

16

=a2，
由OM⊥ON得

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=a2-4a=0，
解得a=4或a=0（舍），得b²=15
所以椭圆E的方程为

x2

16

+

y2

15

=1．
（2）椭圆E的左顶点B（-4，0），所以点Q（-4，y₂）．易证M，O，Q三点共线．
（I）当QM为等腰△QMN的底边时，由于ON⊥OM，∴O是线段MQ的中点，
∴

y 2 1 4 -4=0 y1+y2=0

，所以m=0，即直线MN的方程为x=4；
（II）当QN为等腰△QMN的底边时，

y 2 1

4

×2=

y 2 2

4

-4
又∵?y₁y₂=-16，
解得

y 2 1 =8 y 2 2 =32

，

y1=2 2 y2=-4 2

或

y1=-2 2 y2=4 2

∴?m=±

2

2

，
所以直线MN的方程为x=4±

2

2

y，即y=±

2

(x-4)；
综上，当△QMN为等腰三角形时，直线MN的方程为x=4或y=±

2

(x-4)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，