Question

如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE和AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.

(1)求证:AM⊥平面EBC;

(2)求直线AB与平面EBC所成的角的大小;

(3)求二面角A—EB—C的大小.

Answer 1

解：∵四边形ACDE是正方形,∴EA⊥AC,AM⊥EC.

∵平面ACDE⊥平面ABC,

∴EA⊥平面ABC,

∴可以以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以直线AC和AE为y轴和z轴,建立如下图所示的空间直角坐标系A—xyz.

设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).

∵M是正方形ACDE的对角线的交点,

∴M(0,1,1).

 (1)证明如下,=(0,1,1),=(0,2,0)-(0,0,2)=(0,2,-2),=(2,2,0)-(0,2,0)=(2,0,0),

∴·=0，·=0，

∴⊥，⊥,

∴AM⊥平面EBC.

(2)∵AM⊥平面EBC,

∴为平面EBC的一个法向量.

∵=(0,1,1),=(2,2,0),

∴cos〈,〉=.

∴〈,〉=60°.

∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.

(3)设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),则n⊥且n⊥，

∴n·=0且n·=0,

∴

即

取y=-1,则x=1,则n=(1,-1,0).

又∵AM为平面EBC的一个法向量，且=（0，1，1），

∴cos〈n,〉=，

设二面角A—EB—C的平面角为θ,则

cosθ=|cos〈n,〉|=,∴θ=60°.

∴二面角A—EB—C等于60°.