Question

已知f（x）=log_a

1+x

x-1

（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；
（3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围．

Answer 1

（1）任取1＜x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=log_a

x2+1

x2-1

-log_a

x1+1

x1-1

=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

=log_a

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

．
又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．
∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1．
∴0＜

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

＜1．
当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）由

x+1

x-1

＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵

x+1

x-1

=1+

2

x-1

≠1，∴f（x）≠0．
当a＞1时，
∵x＞1?f（x）＞0，x＜-1?f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f^-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴f（x）＞1?1＜x＜f^-1（1）=

a+1

a-1

．
∴

r=1 a-2= a+1 a-1 .

∴

r=1 a=2± 3 (负号不符合).

当0＜a＜1时，
∵x＞1?f（x）＜0，x＜-1?f（x）＞0，
∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．
又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函数，
∴f（x）＞1?-1＞x＞f^-1（1）=

a+1

a-1

．
∴

r= a+1 a-1 a-2=-1

无解．
综上，得a=2+

3

，r=1．
（3）由f（x）≥log_a2x得
当a＞1时，

x＞1 x+1＞2x(x-1)

?

3- 17

＜x＜

3+ 17

4

且x＞1．
∴1＜x＜

3+ 17

4

．
当0＜a＜1时，

x＞1 x+1＜2x(x-1)

∴x＞

3+ 17

4

．