Question

f(x)=x²-4x-4，x∈［t，t+1］，t∈R，求：

(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；

(2)求g(t)的最小值.

Answer 1

思路分析：(1)易得函数的对称轴为x=2，之后分对称轴在区间［t，t+1］左、内、右分段得出最小值的解析式.(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值.

解：(1)∵f(x)=(x-2)²-8，∴f(x)的对称轴是直线x=2.

当2∈［t，t+1］，即t≤2≤t+1时，1≤t≤2，g(t)=f(2)=-8；

当2＞t+1，即t＜1时，f(x)在［t，t+1］上随x增大f(x)减小.

∴g(t)=f(t+1)=t²-2t-7.

当t＞2时，f(x)在［t，t+1］上随x增大f(x)增大,

∴g(t)=f(t)=t²-4t-4.

综上可得g(t)=t

(2)当t＜1时，g(t)=t²-2t-7=(t-1)²-8＞-8；

当1≤t≤2时，g(t)=-8；

当t＞2时，g(t)=t²-4t-4=(t-2)²-8＞-8，

则g(t)的最小值是-8.