Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且△的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由焦点坐标知：.又椭圆上的点满足，由可求得，再由勾股定理可求得，从而求得.再由求得，从而得椭圆的方程.（Ⅱ）首先考虑与轴垂直的情况，此时可求出直线与直线的交点为，的方程是：，代入验证知点在直线上.当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，点、，，则，，要证明共线，只需证明，即证明.
若，显然成立；若， 即证明
而，这显然用韦达定理.
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，                 1分
椭圆上的点满足，且，
．
，．
                      2分
又                      3分
椭圆的方程为．                     4分
（Ⅱ）由题意知、，
（1）当直线与轴垂直时，、，则的方程是：，
的方程是：，直线与直线的交点为，
∴点在直线上.                          6分
（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，、，
由得
∴，                   7分
，，共线，∴      8分
又，，需证明共线，
需证明，只需证明
若，显然成立，若， 即证明
∵
成立，                 11分
∴共线，即点总在直线上.               12分