Question

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于点，.
（Ⅰ）若（点在第一象限），求直线的方程；
（Ⅱ）求证：为定值（点为坐标原点）.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的方程知焦点为，准线为。设，因为点在第一象限所以且。由抛物线的定义可知等于点到抛物线准线的距离，即，可得，从而可求得点的坐标。由点和点可求直线的方程。（Ⅱ）可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，为了省去讨论也可直接设直线方程为，与抛物线联立方程，消去整理可得关于的一元二次方程，因为有两个交点即方程有两根，所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。用向量数量积公式求即可得证。
试题解析：解：（Ⅰ）设，由题意，且.
点在抛物线上，且，
点到准线的距离为.
，.                                     2分
又，，
.
.
，                                              4分
直线的方程为，即.        5分
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：.
由得，即.          7分
显然恒成立.
设，，则                  9分

.
即为定值.                                11分