Question

16．若函数f（x）=sin³xcosx+cos³xsinx+$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）求单调减区间；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时 求函数f（x）值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的对称轴方程．
（2）2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调减区间．
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函数的性质可得函数f（x）值域．

解答 解：（1）∵f（x）=sin³xcosx+cos³xsinx+$\sqrt{3}$sin²x．
=sinxcosx+$\sqrt{3}$sin²x．
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的对称轴方程：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z．
（2）2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调减区间为：[kπ+$\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$值域为：[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．