题目内容

过双曲线
x2
3
-
y2
6
=1的右焦点F，倾斜角为30°的直线交此双曲线于A，B两点，求|AB|．
分析：求出AB的方程，与双曲线方程联立，求出A，B的坐标，即可求|AB|．
解答：.解：双曲线右焦点F（3，0），AB方程y=
3
3
(x-3)…（4分）
则
y=
3
3
(x-3)
x2
3
-
y2
6
=1
，解得A(-3，-2
3
)，B(
9
5
，-
2
3
5
)…（10分）
∴|AB|=
(-3-
9
5
)2+(-2
3
+
2
3
5
)2
=
16
3
5
…（12分）
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线
x2
3
-y2=1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
，求k的值．
命题“若过双曲线
x2
3
-y2=1的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点M则
|AB|
|FM|
为定值，且定值为
3
．
（1）试类比上述命题，写出一个关于椭圆C：
X2
25
+
Y2
9
=1的类似的正确命题，并加以证明；
（2）试推广（1）中的命题，给出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不证明）．
过双曲线
x2
3
-y2=1的右焦点F2，作倾斜角为
π
4
的直线交双曲线于A、B两点，
求：（1）|AB|的值；
（2）△F1AB的周长（F1为双曲线的左焦点）．
已知椭圆与双曲线
x23
-y2=1有共同的焦点，且过点P（2，3），求双曲线的渐近线及椭圆的方程．
（2011•广安二模）命题“若过双曲线
x2
3
-y2=1的一个焦点F作与X轴不垂直的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值为
3
”．
（1）试类比上述命题，写出一个关于抛物线y2=4x的类似的正确命题，并加以证明；
（2）试推广（1）中的命题，给出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不证明）．

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