Question

命题“若过双曲线

x2

3

-y²=1的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点M则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为

3

．
（1）试类比上述命题，写出一个关于椭圆C：

X2

25

+

Y2

9

=1的类似的正确命题，并加以证明；
（2）试推广（1）中的命题，给出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不证明）．

Answer 1

分析：（1）关于椭圆C的类似命题是：过椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的一个焦点F₂（4，0）作与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为

5

2

．
证明：设直线l为：y=k（x-4），当k=0时，l与x轴重合，|AB|=10，|FM|=4，

|AB|

|FM

=

5

2

．当k≠0时，由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x-4)

，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，由根的判别式和韦达定理知AB的垂直平分线方程为：y+

36k

9+25k2

=-

1

k

(x-

4×25k2

9+25k2

)，由此能够证明

|AB|

|FM|

=

5

2

．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，由此知则

|AB|

|FM|

为定值

2

e

．

解答：解：（1）关于椭圆C的类似命题是：
过椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的一个焦点F₂（4，0）作与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为

5

2

．
证明：由于l与x轴不垂直，设直线l为：y=k（x-4），
①当k=0时，l与x轴重合，|AB|=10，|FM|=4，

|AB|

|FM

=

5

2

．
②当k≠0时，由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x-4)

，
消去y，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，
△=（8×25k²）²-4×25（25k²+9）（16k²-9）=4×25×9²（k²+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点N（x₀，y₀），
则x1+x2=

8×25k2

9+25k2

，
∴x0=

4×25k2

9+25k2

，y0=k(x0-4)=4k(

25k2

9+25k2

-1)=

-36k

9+25k2

，
AB的垂直平分线方程为：y+

36k

9+25k2

=-

1

k

(x-

4×25k2

9+25k2

)，
令y=0，解得x=

64k2

9+25k2

，
∴M(

64k2

9+25k2

，0)，
∴|FM|=|4-xm| =

36(1+k2)

9+25k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

18×5(1+k2)

9+25k2

，
∴

|AB|

|FM|

=

5

2

．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A、B两点，
线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值为

2

e

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．