Question

设锐角△ABC中，2sin²A-cos2A=2．
（1）求∠A的大小；
（2）求（cosB+sinB）²+sin2C的取值范围．

Answer 1

（1）由2sin²A-cos2A=2得：cos2A=-

1

2

，
因为△ABC是锐角三角形，所以2A∈（0，π），
所以2A=

2π

3

，所以A=

π

3

；
（2）因为C=

2π

3

-B，
所以（cosB+sinB）²+sin2C

=1+sin2B+sin( 4π 3 -2B) =1+sin2B- 3 2 cos2B+ 1 2 sin2B =1+ 3 2 sin2B- 3 2 cos2B =1+ 3 sin(2B- π 6 )

因为△ABC是锐角三角形，A=

π

3

，所以B∈(

π

6

，

π

2

)
所以2B-

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以（cosB-sinB）²+sin2C的取值范围是(1+

3

2

，1+

3

]．