Question

设锐角△ABC中，2sin²A-cos2A=2．
（1）求∠A的大小；
（2）求（cosB+sinB）²+sin2C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边第一项，得到关于cos2A的方程，求出方程的解得到cos2A的值，由A为锐角得到2A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由A的度数，根据内角和定理得到B与C的关系，用B表示出C，代入所求的式子中，利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数，由三角形为锐角三角形及A的度数，得到B的具体范围，进而得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．

解答：解：（1）由2sin²A-cos2A=2得：cos2A=-

1

2

，
因为△ABC是锐角三角形，所以2A∈（0，π），
所以2A=

2π

3

，所以A=

π

3

；
（2）因为C=

2π

3

-B，
所以（cosB+sinB）²+sin2C

=1+sin2B+sin( 4π 3 -2B) =1+sin2B- 3 2 cos2B+ 1 2 sin2B =1+ 3 2 sin2B- 3 2 cos2B =1+ 3 sin(2B- π 6 )

因为△ABC是锐角三角形，A=

π

3

，所以B∈(

π

6

，

π

2

)
所以2B-

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以（cosB-sinB）²+sin2C的取值范围是(1+

3

2

，1+

3

]．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的值域，以及三角函数的恒等变换与化简求值，涉及的知识还有两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．