Question

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内．
（1）求实数b的取值范围；
（2）若函数F（x）=log_bf（x）在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用g（-2）=＜0，g（-3）＞0、g（0）＜0、g（1）＞0，求实数b的取值范围；
（2）f（x）在区间（-1-c，1-c）上为增函数，F（x）=log_bf（x）在（-1-c，1-c）上为减函数，利用（1）求实数c的取值范围．

解答：解：（1）由题意知f（1）=1+2b+c=0，
∴c=-1-2b
记g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1
则g（-3）=5-7b＞0
g（-2）=1-5b＜0∴

1

5

＜b＜

5

7

g（0）=-1-b＜0
g（1）=b+1＞0  即b∈（

1

5

，

5

7

）．（7分）
（2）令u=f（x）．∵0＜

1

5

＜b＜

5

7

＜1
∴log_bu在（0，+∞）是减函数
而-1-c=2b＞-b，函数f（x）=x²+2bx+c的对称轴为x=-b
∴f（x）在区间（-1-c，1-c）上为增函数，
从而F（x）=log_bf（x）在（-1-c，1-c）上为减函数
且f（x）在区间（-1-c，1-c）上恒有f（x）＞0，
只需f（-1-c）≥0，
且c=-2b-1  （

1

5

＜b＜

5

7

） 所以-

17

7

＜c≤-2．（13分）

点评：本题考查函数的单调性，一元二次方程根的分布于系数的关系，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．