Question

如图,在长方体OAEB—O₁A₁E₁B₁中,|OA|=3,|OB|=4,|OO₁|=2,点P在棱AA₁上,且|AP|=2|PA₁|,点S在棱BB₁上,且|SB₁|=2|BS|,点Q,R分别是棱O₁B₁,AE的中点.

求证:PQ∥RS.

Answer 1

分析：利用向量证明PQ∥RS,只需建立适当的坐标系,表示出,的坐标,然后利用共线向量定理判定向量共线,从而得到直线平行.

证明：如图,建立空间直角坐标系O—xyz.

则A(3,0,0),B(0,4,0),O₁(0,0,2),A₁(3,0,2),B₁(0,4,2).

因为|PA|=2|PA₁|,|SB₁|=2|BS|,Q,R分别是棱O₁B₁,AE的中点,所以P(3,0,),Q(0,2,2,),R(3,2,0),S(0,4,).

所以=(-3,2,)=.

所以∥.

因为RPQ,所以PQ∥RS.

点拨：利用向量坐标运算证明线线平行时,(1)需证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上.