Question

已知数列满足：，其中.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，求数列的最大项.

Answer 1

（1）详见解析；（2）最大项为.

试题分析：（1）首先根据已知等式，令，可得，再根据已知等式可得，将两式相减，即可得到数列的一个递推公式，只需验证将此递推公式变形得到形如的形式，从可证明数列是等比数列；（2）由（1）可得，从而，因此要求数列的最大项，可以通过利用作差法判断数列的单调性来求得： ，
当时，，即；当时，； 当时，，即，因此数列的最大项为.
试题解析：（1）当时，，∴，            1分
又∵，     2分
∴，即，∴.       4分
又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列；  6分
（2）由（1）知，，
∴，  ∴ ，      8分
当时，，即，                     9分
当时，，                                         10分   
当时，，即，                   11分
∴数列的最大项为，                              13分