题目内容
【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x0∈[ 
，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）解：由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
当x∈（0， 
），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（ 
），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∵t＞0，∴t+2＞
② 当0＜t＜ ＜t+2，即0＜t＜ 时，f（x）min=f（ ）=﹣ ；
②当 
，即t 
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．
∴ 
．
（2）解：∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣ 
，
∴a≤2lnx+x+ 
，x∈[ ，e]，
设h（x）=2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，
则 
，x∈[ ，e]，
①x∈[ ，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）max=h（ ）=﹣2+ 
，对一切x0∈[ ，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，
∴a≤h（x）max=﹣2+ +3e．
【解析】（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，设h（x）=2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，则 ，x∈[ ，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．
