Question

（2011•延安模拟）已知点P_n（a_n，b_n）满足an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，且P0(

1

3

，

2

3

)(n∈N)．
（1）求点P₁坐标，并写出过点P₀，P₁的直线L的方程；
（2）猜测点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（3）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式，并求

OPn

•

OPn+1

的最小值（其中O为坐标原点，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由a0=

1

3

，b0=

2

3

得a1=

1

4

，b1=

3

4

，由此能求出直线L的方程．
（2）由a1=

1

4

，b1=

3

4

得a2=

1

5

，b2=

4

5

，所以点P₂∈L，猜想点P_n（n≥2，n∈N）在直线L上并用数学归纳法加以证明．
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=

bn

1- a 2 n

，a_n+b_n=1，得a_n+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

(an≠0)．故

1

an+1

=

1

an

+1，{

1

an

}是等差数列，

1

an

=

1

a0

+n=n+3．由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式，和

OPn

•

OPn+1

的最小值．

解答：解：（1）由a0=

1

3

，b0=

2

3

，
得a1=

1

4

，b1=

3

4

，
得P₁坐标为（

1

4

，

3

4

）…2'
显然直线L的方程为x+y=1 …4'
（2）由a1=

1

4

，b1=

3

4

，
得a2=

1

5

，b2=

4

5

，
∴点P₂∈L，
猜想点P_n（n≥2，n∈N）在直线L上，…6'
以下用数学归纳法证明：
当n=2时，点P₂∈L
当n=k（k≥2）时，点P_k∈L，
即a_k+b_k=1，
则当n=k+1时，
a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=(1+ak)•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=1，
∴点P_k+1∈L，
∴点P_n∈L（n≥2）…10'
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，
b_n+1=

bn

1- a 2 n

，
a_n+b_n=1，
得a_n+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

(an≠0)
∴

1

an+1

=

1

an

+1…12'
∴{

1

an

}是等差数列，
∴

1

an

=

1

a0

+n=n+3，
∴an=

1

n+3

，bn=

n+2

n+3

…14
'

OPn

•

OPn+1

=anan+1+bnbn+1=1-

2n+5

n2+7n+12

…16'
令2n+5=t  则n=

t-5

2

，
上式可化简化1-

4t

t2+4t+3

=1-

4

t+ 3 t +4

由单调性可得当t=7，
n=1时，上式有最小值为

13

20

所以1-

2n+5

n2+7n+12

（n∈N^﹡）的最小值为

13

20

． …18'

点评：本题考查数列与解析几何的综合，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．