Question

（2011•延安模拟）数列{a_n}满足a₁=1，an+1•

1 a 2 n +4

=1（n∈N^*），记S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S2n+1-Sn≤

m

30

对n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为（　　）

A．10

B．9

C．8

D．7

Answer 1

分析：由题干中的等式变形得出数列{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，得出a_n²的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，得出数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，再由

14

45

≤

m

30

，又m是正整数得m的最小值．

解答：解：∵a_n+！²（

1

an2

+4）=1，∴

1

an+12

=

1

an2

+4，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4（n∈N^*），
∴{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，∴a_n²⁼

1

4n-3

∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=(

1

8n+2

-

1

8n+5

)+(

1

8n+2

-

1

8n+9

)＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

30

，∴m≥

28

3

又∵m是正整数，
∴m的最小值为10．
故选A．

点评：本题难度之一为结合已知和要求的式子，观察出哪一个数列为特殊数列，也就是等差或等比数列；难度之二求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，证数列{S_2n+1-S_n}
（n∈N^*）是递减数列，证明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．