Question

记函数f(x)=

2- x+3 x+1

的定义域为A，g(x)=

2

(x-a-1)(2a-x)

的定义域为B（a为实常数且a≠1）
（1）求A、B；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二次根号内被开方数必须大于或等于零，同时分母不为零，得到函数f（x）的定义域A；对于函数g（x）分母为二次根式，故（x-a-1）（2a-x）＞0，再讨论a+1与2a的大小可得集合B；
（2）若A∪B=A，说明集合B是集合A的子集，然后分a+1与2a都小于或等于-1和a+1与2a都大于1两种情况加以讨论，最终可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）对于函数f（x）应该满足：2-

x+3

x+1

≥0⇒A=(-∞，-1)∪[1，+∞)  
而对于函数g（x），应该满足（x-a-1）（2a-x）＞0⇒（x-a-1）（x-2a）＜0
讨论：①a＜1时，B=（2a，a+1）
②a＞1时，B=（a+1，2a）                                
（2）A∪B=A⇒B⊆A
①

a＜1 a+1≤-1或2a≥1

⇒a≤-2或

1

2

≤a＜1
②

a＞1 2a≤-1或a+1≥1

⇒a＞1
综上所述，实数a的取值范围为：a∈(-∞，-2]∪[

1

2

，1)∪(1，+∞)

点评：本题考查了函数的定义域的求法和集合包含关系的判断，属于基础题．看准题中的二次根号的被开方数不小于零和分母同时不为零，是解决本题的关键．