Question

19．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且$\frac{cosB}{cosC}=\frac{b}{2a-c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得2cosBsinA=sin（B+C），由三角形内角和定理即sinA≠0，可得cosB=$\frac{1}{2}$，又B为三角形的内角，即可解得B的值．
（2）由面积公式可解得ac=6，①由余弦定理，可得a²+c²-ac=7，即（a+c）²=3ac+7，③将①代入③即可解得a+c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理可得，$\frac{cosB}{cosC}=\frac{sinB}{2sinA-sinC}$，可得2cosBsinA=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴2cosBsinA=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（2）b=$\sqrt{7}$，B=$\frac{π}{3}$，由面积公式可得：$\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即ac=6，①
由余弦定理，可得：${a}^{2}+{c}^{2}-2accos\frac{π}{3}$=7，即a²+c²-ac=7②，
由②变形可得：（a+c）²=3ac+7，③
将①代入③可得（a+c）²=25，故解得：a+c=5…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．