题目内容

1．解关于x的不等式：[x2-（a+$\frac{1}{a}$）x+1]（x2-2x+1）＜0（a＞0）．

分析 原不等式为（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）2＜0，分a=1和0＜a＜1以及a＞1讨论可得．

解答 解：分解因式可得原不等式为（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）2＜0；
当a=1时，不等式可化为（x-1）4＜0，无解；
当0＜a＜1时，0＜a＜1＜$\frac{1}{a}$，此时不等式的解集为{x|a＜x＜$\frac{1}{a}$且x≠1}；
当a＞1时，0＜$\frac{1}{a}$＜a＜1，此时不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜a且x≠1}．

点评 本题考查含参数不等式的解集，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．

练习册系列答案
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20．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值和最小值：
（1）y=-3sinx，x∈R；
（2）y=2+cos$\frac{x}{2}$，x∈R；
（3）y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
12．已知抛物线$x=\frac{1}{2}{y^2}$上一点P的横坐标为1，则点P到该抛物线的焦点F的距离为（　　）
A．$\frac{9}{8}$B．$\frac{3}{2}$C．2D．$\frac{5}{4}$
9．如图所示的是y=f′（x） 的图象，则下列判断正确的是（　　）
①f（x）在（-∞，1）上是增函数；
②x=-1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（-1，2）上是增函数；
④x=2是f（x）的极小值点．
A．①②B．①④C．③④D．②③
16．各项均为正数的{an}，{bn}，an+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，bn+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：{$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．
6．证明：f（x）=x3-ax-1图象不可能总在直线y=a的上方．
13．已知数列{an}为等比数列，bn=log${\;}_{\frac{1}{2}}$an，b2+b4=12，b3+b5=16．
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求{bn}的前100项和．
10．已知c＞a＞b＞0，求证：$\frac{a}{c-a}$＞$\frac{b}{c-b}$．
11．设a∈R，函数f（x）=ax2+x-a（|x|≤1）．
（1）若|a|≤1，试证：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）若函数f（x）的最大值为$\frac{17}{8}$，求实数a的值．

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