题目内容
16．各项均为正数的{an}，{bn}，an+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，bn+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：{$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．分析 利用an+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，bn+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，代入，可得（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）2-$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$=1，即可得出结论．
解答 证明：∵an+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，bn+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
∴（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）2=（1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）2÷（$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$）2=1+$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$，
∴（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）2-$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$=1，
∴{$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．
点评 本题考查等差数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用等差数列的定义是关键．
练习册系列答案
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4．
已知函数y=f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
已知函数y=f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）| A． | 函数f（x）在x=4处取得极值 | B． | f（1）＞f（2） | ||
| C． | 函数f（x）的最小值为0 | D． | f（2）-f（1）＜f′（1） |
已知A、B两监测点间距离为3400米，且两点到同一爆炸声的时间差为6s，且B处的声强是A处声强的4倍，声强与距离的平方成反比，求爆炸点P到两监测点中点Q的距离（精确到1m，声速为340m/s）．