Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1， ）在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过椭圆C1： + =1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2= 的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明： + 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：c=1，

∴a2=b2+1，

又因为点P（1， ）在椭圆C上，

∴ + =1，

解得：a2=4，b2=3，

则椭圆标准方程为 + =1

（2）解：设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），

联立 ，消去y得：（4k2+3）x2+16kx+4=0，

∵△=12k2﹣3＞0，∴k2＞ ，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∵∠AOB为锐角，∴ ＞0，即x1x2+y1y2＞0，

∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，

整理得：（1+k2） +2k +4＞0，即 ＞0，

整理得：k2＜ ，即 ＜k2＜ ，

解得：﹣ ＜k＜﹣ 或 ＜k＜

（3）解：由题意：C1： + =1，

设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），

∵M，N不在坐标轴上，∴kPM=﹣ =﹣ ，

∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣ （x﹣x2），

化简得：x2x+y2y= ④，

同理可得直线PN的方程为x3x+y3y= ⑤，

把P点的坐标代入④、⑤得 ，

∴直线MN的方程为x1x+y1y= ，

令y=0，得m= ，令x=0得n= ，

∴x1= ，y1= ，

又点P在椭圆C1上，

∴（ ）2+3（ ）2=4，

则 + = 为定值

【解析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2 ， 根据∠AOB为锐角，得到 ＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1 ， y1），M（x2 ， y2），N（x3 ， y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．