Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）。
（1）若函数f（x）在区间（0，）内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程h（a）=m（a+）有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵ ∴ ∵函数f（x）在区间（0，）内是减函数 ∴在上恒成立 即在上恒成立。 ∴ ∴ 故实数a的取值范围为[1，+∞）。 （2） 令f'（x）=0，得x=0或 ①若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）>0，所以f（x）在区间[1， 2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a。 ②若，即，则当1≤x≤2时，f'（x）>0， 所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a。 ③若，即，则当时，f'（x）＜0 当时，f'（x）>0 所以f（x）在上是减函数，在上是增函数 所以。 ④若a≥3，即，则当1＜x＜2时，f'（x）＜0， 所以f（x）在区间[1，2]上是减函数 所以h（a）=f（2）=8-4a。 综上得。
（3）由题意有两个不相等的实数解，即（2）中函数h（a）的图象与直线y=有两个不同的交点，而直线y=恒过定点由图知实数m的取值范围是（-4，-1）。