Question

函数设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=4x+

a2

x

+9，若f（x）≥a+1对一切x≥0恒成立，则a的取值范围为

（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：利用奇函数的性质可得：当x＞0时，f（x）=-f（-x）=4x+

a2

x

-9．当x＞0时，化为4x²-（a+10）x+a²≥0在x＞0时恒成立．
令g（x）=4x²-（a+10）x+a²，转化为

- -(a+10) 8 ≤0 g(0)≥0

，或△=（a+10）²-16a²≤0．当x=0时，比较简单．

解答：解：设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-4x-

a2

x

+9．
由于f（x）≥a+1对一切x≥0恒成立，
（1）当x＞0时，f（x）=-f（-x）=4x+

a2

x

-9，∴4x+

a2

x

-9≥a+1恒成立，
化为4x²-（a+10）x+a²≥0在x＞0时恒成立．
令g（x）=4x²-（a+10）x+a²，
利用二次函数的图象与性质可得两种情况：①对称轴在y轴的左侧或是y轴

- -(a+10) 8 ≤0 g(0)≥0

，或②图象不在x轴的下方，则△=（a+10）²-16a²≤0，
解得①a≤-10．②a≤-2或a≥

10

3

．
（2）当x=0时，f（0）=0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
综上可知：（-∞，-2]．

点评：熟练掌握奇函数的性质和二次函数的图象与△的关系是解题的关键．