Question

已知函数f（x）=5

3

cosxsinx+5cos2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=5

3

cosxsinx+5cos2x+1=

5 3

2

sin2x+5•

1+cos2x

2

+1=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
函数f（x）的周期T=

2π

2

=π，
函数f（x）的最大值为

17

2

和最小值-

13

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
再由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．当k=0时，-

π

3

≤x≤

π

6

，所以0≤x≤

π

6

；
k=1时

2π

3

≤x≤

7π

6

，∴

2π

3

≤x≤π，
所以y=f（x）的单调增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．