Question

9．设集合A={x|（x+2）²=4}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R}
（1）若A∩B=B，求满足条件的实数a的值所组成的集合；
（2）若A∪B=B，求满足条件的实数a的值所组成的集合．

Answer 1

分析 （1）求解一元二次方程化简结合A，根据A∩B=B，得B⊆A，然后分B为空集，单元素集合，双元素集合讨论求解a的取值范围；
（2）由A∪B=B知A是B的子集，进一步得到A=B，由此求得a的值．

解答 解：（1）∵A={x|（x+2）²=4}={x|x²+4x=0}={-4，0}，
B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，
由A∩B=B，得B⊆A，
当△=[2（a+1）]²-4（a²-1）＜0，即a＜-1时，B=∅，符合题意；
当△=[2（a+1）]²-4（a²-1）≥0，即a≥-1时，
若a=-1，则B={0}，符合题意；
当a＞-1时，由B⊆A，且A={-4，0}，
可知a+1=2，a=1．
∴满足A∩B=B的实数a的取值集合为{a|a=1或a≤-1}；
（2）由（1）知A={-4，0}，
若A∪B=B，则B?A={-4，0}，
∴0和-4是方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根，
∴0-4=-2（a+1）=-4，0×（-4）=a²-1=0．
解得：a=1，
∴满足条件的实数a的值所组成的集合为{1}．

点评 本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题