Question

如图，在平面直角坐标系xOy中．椭圆的右焦点为F，右准线为l．
（1）求到点F和直线l的距离相等的点G的轨迹方程．
（2）过点F作直线交椭圆C于点A，B，又直线OA交l于点T，若，求线段AB的长；
（3）已知点M的坐标为（x，y），x≠0，直线OM交直线于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数λ，使得，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆方程确定点F的坐标和直线l的方程，利用到点F和直线l的距离相等，建立等式，化简可得点G的轨迹方程；
（2）由若，可得A的坐标，从而可求线段AB的长；
（3）假设存在实数λ满足题意，确定直线OM、ON的方程，表示出N，P的坐标，利用，即可求得结论．
解答：解：（1）由椭圆方程为
可得a²=2，b²=1，c=1，F（1，0），l：x=2．
设G（x，y），则由题意可知，
化简得点G的轨迹方程为y²=-2x+3．…（4分）
（2）由题意可知x_A=x_F=c=1，
故将x_A=1代入，
可得，从而．   …（8分）
（3）假设存在实数λ满足题意．
由已知得①②
椭圆C：③
由①②解得，．
由①③解得，．              …（12分）
∴，
．
∵
∴可得λ=1满足题意．                                  …（16分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查轨迹方程的求解，考查向量知识的运用，属于中档题．