Question

【题目】已知焦点在轴上的抛物线过点，椭圆的两个焦点分别为 ，其中 与的焦点重合，过与长轴垂直的直线交椭圆于两点且,曲线是以原点为圆心以 为半径的圆.

（1）求与及的方程；

（2）若动直线与圆相切,且与交与两点,三角形 的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）先利用点的坐标求抛物线的方程，再根据题意分别求出椭圆和圆的方程；

（2）设出直线方程，求出面积的表达式，根据表达式的特点，求出范围.

(1)由已知设抛物线方程为则,解得,

即的方程为;焦点坐标为,

所以椭圆中,其焦点也在轴上设方程为

由得, 又解得

椭圆方程为，

又所以所求圆的方程为，

(2) 因为直线与圆相切,所以圆心O到直线的距离为1,

所以，

当直线的斜率不存在时方程为,两种情况所得到的三角形面积相等,

由得 ,不妨设 ,

此时 ，

当直线的斜率存在时设为,直线方程为

所以圆心O到直线的距离为 即，

由得

所以

恒大于0，

设 则

所以

，

令则,

所以

是关于 的二次函数开口向下,在时单调递减,

所以，综上: .