Question

过抛物线y²＝4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：抛物线y²＝4x的准线与对称轴的交点为(－1，0)．

　　设直线MN的方程为y＝k(x＋1)．

　　由得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0．

　　∵直线与抛物线交于M、N两点，∴Δ＝4(k²－2)²－4k⁴＞0，即k²＜|k²－2|，k²＜1，－1＜k＜1．

　　设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，抛物线焦点为F(1，0)．

　　∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，

　　∴MF⊥NF．

　　∴，即y₁y₂＋x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝0．

　　∴k＝±，

　　即直线的倾斜角为arctan或π－arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点．