题目内容

某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
2
3
，
2
3
，
1
2
，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
（1）求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（2）记该技术的兰个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
分析：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+A
.
B
C，又ABC与A
.
B
C为互斥事件，且A，B，C相互独立，即可得出．
（II）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P(
.
A
.
B
.
C
)=P（
.
A
）•P(
.
B
)•P(
.
C
)；P（ξ=1）=P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)；
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）；P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）．
解答：解：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+A
.
B
C，又ABC与A
.
B
C为互斥事件，且A，B，C相互独立．
∴P（ABC+A
.
B
C）=P（ABC）+P（A
.
B
C）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P(
.
B
)P（C）
=
2
3
×
2
3
×
1
2
+
2
3
×
1
3
×
1
2
=
1
3
．
（II）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P(
.
A
.
B
.
C
)=P（
.
A
）•P(
.
B
)•P(
.
C
)=
1
3
×
1
3
×
1
2
=
1
18
．
P（ξ=1）=P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)=
2
3
×
1
3
×
1
2
+
1
3
×
2
3
×
1
2
+
1
3
×
1
3
×
1
2
=
5
18
．
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=
2
3
×
2
3
×
1
2
=
4
18
，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-
1
18
-
5
18
-
4
18
=
8
18
．
∴ξ的分布列为：
 ξ  0  1  2  3
 P  
1
18
  
5
18
  
8
18
  
4
18
∴Eξ=0+1×
5
18
+2×
8
18
+3×
4
18
=
11
6
．
点评：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、相互独立和互斥事件的概率计算公式，属于难题．
练习册系列答案
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中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
3
4
、
2
3
、
1
2
．指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
（Ⅰ）求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（Ⅱ）记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

 

某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

（Ⅰ）求该项技术量化得分不低于8分的概率；

（Ⅱ）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望。

 

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(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II )记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望

 

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