题目内容

中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
3
4
、
2
3
、
1
2
．指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
（Ⅰ）求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（Ⅱ）记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
分析：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，事件“得分不低于8分”表示为ABC+A
.
B
C．利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出结果．
（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．
解答：解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，
则事件“得分不低于8分”表示为ABC+A
.
B
C．
∴ABC与A
.
B
C为互斥事件，且A、B、C为彼此独立，
∴P（ABC+A
.
B
C）=P（ABC）+P（A
.
B
C）
=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（
.
B
）P（C）
=
3
4
×
2
3
×
1
2
+
3
4
×
1
3
×
1
2
=
3
8
，（5分）
（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0，1，2，3，（6分）
∵P（X=0）=P（
.
A
.
B
.
C
）=
1
4
×
1
3
×
1
2
=
1
24
，
P（X=1）=P（A
.
B
.
C
+
.
A
B
.
C
+
.
A
.
B
C）
=
3
4
×
1
3
×
1
2
+
1
4
×
2
3
×
1
2
+
1
4
×
1
3
×
1
2
=
1
4
，
P（X=2）=P（AB
.
C
+
.
A
BC+A
.
B
C）
=
3
4
×
2
3
×
1
2
+
1
4
×
2
3
×
1
2
+
3
4
×
1
3
×
1
2
=
11
24
，
P（X=3）=P（ABC）=
3
4
×
2
3
×
1
2
=
1
4
，（10分）
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
1
24
1
4
11
24
1
4
∴EX=0×
1
24
+1×
1
4
+2×
11
24
+3×
1
4
=
23
12
．（12分）
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机事件的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，解题时要注意互斥事件和相互独立事件的概率计算公式的应用．
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(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望。

 

中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

 

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