题目内容
【题目】已知函数
，
是
的导函数.
（1）若
，当
时，函数在
内有唯一的极大值，求
的取值范围；
（2）若
，
，试研究
的零点个数.
【答案】（1）
；（2）
有
个零点
【解析】
（1）先求导得
，再分
和
两种情况讨论求得
的取值范围；（2）分析可知，只需研究
时零点的个数情况，再分
两种情形讨论即可.
（1）当
时，
，
，
在
是减函数，且
，
，
①，当
，时，
恒成立，
在是增函数，无极值；
②，当
，时，
，使得
，
，
，单调递增；
，
，单调递减，
为唯一的极大值点，所以
（2）
，
，
，
，可知，
（i）
时，
，无零点；所以只需研究，
，
（ii）
时，
，可知单调递减，
，
，
唯一的
，
；
（iii）当
，
是减函数，且
，
，
则
，
，
在
是增函数，
是减函数，并且
，
，
，
所以
，
；
，
，且知在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减.
又因为
，
，
，所以
，
，
，
，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有个零点.
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