题目内容
已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）当m=1时，求函数f（x）的单调区间．
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）当m=1时，求函数f（x）的单调区间．
（1）∵f（x）=mx3+nx2，
∴f'（x）=3mx2+2nx
由已知条件得：f'（2）=0
∴3m+n=0
∴n=-3m
（2）若m=1，则n=-3
∴f（x）=x3-3x2，
∴f'（x）=3x2-6x，
令f'（x）＞0，∴x＜0或x＞2．
令f'（x）＜0，得0＜x＜2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）
∴f（x）的单调递减区间为（0，2）．
∴f'（x）=3mx2+2nx
由已知条件得：f'（2）=0
∴3m+n=0
∴n=-3m
（2）若m=1，则n=-3
∴f（x）=x3-3x2，
∴f'（x）=3x2-6x，
令f'（x）＞0，∴x＜0或x＞2．
令f'（x）＜0，得0＜x＜2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）
∴f（x）的单调递减区间为（0，2）．
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