Question

已知圆C与x轴相切，圆心在直线y=3x上，且被直线2x+y-10=0截得的弦长为4，求此圆的方程．

Answer 1

分析：由圆心在直线y=3x，设出圆心C的坐标为（a，3a），又圆C与x轴相切，可得圆的半径为|3a|，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=3x的距离d，再由弦长求出弦长的一半，进而根据垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出圆心C的坐标及圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：解：设圆心C（a，3a），由题可知：圆的半径r=|3a|，
∵圆心到直线2x+y-10=0的距离d=

|5a-10|

5

，又弦长的一半为2，
∴由垂径定理可知：r²=d²+2²，即9a²=

(5a-10)2

5

+4，
整理得：（a+6）（a-1）=0，
解得：a=1或-6，
∴圆心C（1，3），r=3，或圆心C（-6，-18），半径r=18，
则圆的方程为：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+6）²+（y+18）²=324．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．