Question

13．已知三次函数f（x）=ax³+x-b（a＞0）在区间（0，1]内有零点，且f′（1）≤4，则f（-2）的取值范围是（　　）

• A． （-10，-6）
• B． [-12，-2）
• C． [-12，-6）
• D． [-12，-10）

Answer 1

分析 先求导，判断函数f（x）在（0，1]上单调递增，则f（0）＜0且f（1）≥0，以及根据f′（1）≤4，求出a，b的范围，代计算即可．

解答 解：f（x）=ax³+x-b（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+1＞0，在（0，1]内恒成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，
∵f′（1）≤4，
∴3a+1≤4，
∴a≤1，
∴0＜a≤1
∵函数f（x）=ax³+x-b（a＞0）在区间（0，1]内有零点，
∴f（0）＜0且f（1）≥0，
∴-b＜0，且a+1-b≥0，
∴0＜b≤2，
∴-2≤-b＜0，
∴f（-2）=-8a-2-b，
∵0＜a≤1，
∴-8≤-8a＜0，
∴-10≤-8a-2＜-2，
∴-12≤-8a-2-b＜-2
故-12≤f（-2）＜-2，
故选：B

点评 本题考查了导数和函数的单调性和关系，以及零点存在定理和不等式的基本性质，属于中档题．