Question

1．已知a-3$\sqrt{a}$+1=0（a＞1）．求：
（1）$\frac{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{4}}+{a}^{-\frac{1}{4}}}$；
（2）$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}-{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$．

Answer 1

分析 由题意求出${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，再根据完全平方公式和平方差公式，立方差公式化简即可求出答案．

解答 解：∵a-3$\sqrt{a}$+1=0（a＞1）
∴$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$=3，
即${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）²=a+a^-1+2=9，
∴a+a^-1=7，
∴${（a}^{\frac{1}{4}}+{a}^{-\frac{1}{4}}）^{2}$=5，
∴（${a}^{\frac{1}{4}}$-${a}^{-\frac{1}{4}}$）²=（${a}^{\frac{1}{4}}$+${a}^{-\frac{1}{4}}$）²-4=1，
∴${a}^{\frac{1}{4}}$-${a}^{-\frac{1}{4}}$=1
（1）$\frac{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{4}}+{a}^{-\frac{1}{4}}}$=${a}^{\frac{1}{4}}$-${a}^{-\frac{1}{4}}$=1，
（2）$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}-{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$=$\frac{（{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}）（a+1+{a}^{-1}）}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$=a+a^-1+1=7+1=8．

点评 本题考查了指数幂的运算性质，关键是掌握全平方公式和平方差公式，立方差公式，属于基础题．