Question

已知函数R）.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；

（3）当，且时，证明：

 

Answer 1

(1);(2)详见解析.

【解析】

试题分析：（1）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．

（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．

（3）由（2）知，当a=1时，函数f(x)＝，在[1，+∞）上是单调减函数，且f(1)＝＝1，从而证得结论．.

试题解析：【解析】
（1）函数

所以又曲线处的切线与直线平行，所以 4分；

（2）令

当x变化时，的变化情况如下表：

	+	0	—
		极大值

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是

所以处取得极大值， 8分；

（3）当由于

只需证明

令

因为，所以上单调递增，

当即成立。

故当时，有 12分；

考点：1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究曲线上某点切线方程．