Question

在一段时间内，某种商品的价格x（万元）和需求量Y（t）之间的一组数据为：

价格x	1.4	1.6	1.8	2	2.2
需求量Y	12	10	7	5	3

（1）在右面的坐标系中画出散点图；

（2）求出Y对x的回归直线方程 

y

=

a

+

b

x；（其中：

b

=

n i=1 xiyi-n  . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

= 

.

y

- 

b

.

x

参考数据1.4²+1.6²+1.8²+2²+2.2²=16.6）

序号
1
2
3
4
5
求和

（3）回答下列问题：
（i）若价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？（精确到0.01t）
（ii）当价格定为多少时，商品将出现滞销？（精确到0.01万元）
（iii）当价格定为多少时，获得的收益最大？

Answer 1

分析：（1）根据表中给的数据，在直角坐标系中画出散点图；
（2）将表中所给的数据代入公式：

b

=

n i=1 xiyi-n  . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

= 

.

y

- 

b

.

x

，求出

b

，

a

的值，进一步求出Y对x的回归直线方程．
（3））（i）将x=1.9代入

?

y

=-11.5x+28.1得y=6.25，得到价格定为1.9万元，预测需求量大约是6.25．
（ii）令

?

y

=-11.5x+28.1=0得x=2.44，得到当价格定为2.44时，商品将出现滞销；
（iii）获得的收益z=x

y

=-11.5x²+28.1x，求出二次函数的对称轴，即为获得的收益最大时价格的值．

解答：解：（1）

（2）解：由数据表可得

.

x

=

1.4+1.6+1.8+2+2.2

5

=1.8，

.

y

=

12+10+7+5+3

5

=7.4，
∴

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=-11.5，

a

=

.

y

-

b

.

x

=28.1，
∴回归直线方程为

?

y

=-11.5x+28.1
（3）（i）将x=1.9代入

?

y

=-11.5x+28.1得y=6.25，
所以价格定为1.9万元，预测需求量大约是6.25．
（ii）令

?

y

=-11.5x+28.1=0得x=2.44，
所以当价格定为2.44时，商品将出现滞销；
（iii）获得的收益z=x

y

=-11.5x²+28.1x，
当x=1.22时，z最大，所以当价格定为1.22时，获得的收益最大．．

点评：本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．