题目内容
已知
=（1，sinα），
=（2，sin（α+2β）），
∥
．
（1）若sinβ=
，β是钝角，求tanα的值；
（2）求证：tan（α+β）=3tanβ．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）若sinβ=
| 3 |
| 5 |
（2）求证：tan（α+β）=3tanβ．
由已知
=（1，sinα），
=（2，sin（α+2β）），
∥
所以sin（α+2β）=2sinα
（1）sinβ=
，β是钝角，所以cosβ=-
，可得sin2β=-
，cos2β=
，
代入sinαcos2β+cosαsin2β=2sinα化得tanα=-
；
（2）证明：因为sin（α+2β）=2sinα，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]
得sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=2[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]
移项得sin（α+β）cosβ=3cos（α+β）sinβ，
等式两边同时除以cos（α+β）cosβ得tan（α+β）=3tanβ
| a |
| b |
| a |
| b |
所以sin（α+2β）=2sinα
（1）sinβ=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
| 7 |
| 25 |
代入sinαcos2β+cosαsin2β=2sinα化得tanα=-
| 24 |
| 43 |
（2）证明：因为sin（α+2β）=2sinα，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]
得sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=2[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]
移项得sin（α+β）cosβ=3cos（α+β）sinβ，
等式两边同时除以cos（α+β）cosβ得tan（α+β）=3tanβ
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