Question

设函数f（x）的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y）＞0 且当x＞0，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上

1. A.
   有最大值f
2. B.
   有最小值f
3. C.
   有最大值f（a）
4. D.
   有最小值f（a）

Answer 1

C
分析：根据题意可得到函数f（x）为奇函数，且为减函数，从而可得到答案．
解答：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=0，
再令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
又当x＞0时，f（x）＜0=f（0），
∴f（x）是减函数
∴在区间[a，b]上，f（a）＞f（b）．
∵a＜b，
∴a＜＜b，
∴f（b）＜f（）＜f（a），
∴f（x）在区间[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）．
故选C．
点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性，分析得到f（x）是减函数是关键，也是难点，属于中档题．