Question

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1
（1）求f（1）和f（

1

2

）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 m=2，n=

1

2

，即可求出 f(

1

2

)的值；
（2）先在定义域内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后判定出f（x₁），与f（x₂）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；

解答：解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1

2

，则 f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=f(1)-f(2)=1（4分）

（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(

x2

x1

)＜0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＜f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数（10分）．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．