Question

设函数f（x）的定义域为R，若|f（x）|≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为Ω函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=xsinx、f₂（x）=

e-x

ex+1

和f₃（x）=

x2

x2+1

中哪些是Ω函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求证：函数f（x）一定是Ω函数；
（Ⅲ）求证：若a＞0，则函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据所给新定义，依次判断函数|f₁（x）|≤|x|，|f₂（x）|≤|x|，|f₃（x）|≤|x|是否对一切实数x均成立，若成立，则为Ω函数，从而得到答案；
（Ⅱ）根据y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，对一切实数x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0可得结论；
（Ⅲ）令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|，当x≥0时，利用导数的性质得到g（x）在[0，+∞）上为减函数；当x＜0时，利用导数的性质得到g（x）在（-∞，0）为增函数，故g（x）在x=0处取得极大值，同时也为最大值．由此能够证明函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

解答：解：（Ⅰ）对于f₁（x）=xsinx，
∵sinx∈[-1，1]，则|sinx|≤1，
∴|x||sinx|≤|x|，即|xsinx|≤|x|，
∴|f₁（x）|≤|x|对一切实数均成立，
故函数f₁（x）=xsinx是Ω函数；
对于f₂（x）=

e-x

ex+1

，当x=0时，f₂（x）=

e0

e0+1

=

1

2

，此时|f₃（0）|＞|0|，
∴|f（x）|≤|x|对一切实数x不均成立，
故函数f₂（x）=

e-x

ex+1

不是Ω函数；
对于f₃（x）=

x2

x2+1

，|f₃（x）|≤|x|对一切实数x均成立，即|

x

x2+1

|≤1对一切实数x均成立，
当x=0时，不等式恒成立，
当x≠0时，y=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

≤-2或x+

1

x

≥2，
∴-

1

2

≤

1

x+ 1 x

＜0或0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴|

x

x2+1

|≤

1

2

≤1，
∴|f₃（x）|≤|x|对一切实数x均成立，
故函数f₃（x）=

x2

x2+1

是Ω函数．
综上，函数f₁（x）=xsinx，f₃（x）=

x2

x2+1

是Ω函数．
（Ⅱ）∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵对一切实数x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，
∴令x₁=x，x₂=0得|f（x）-f（0）|≤|x-0|，
即|f（x）|≤|x|对一切实数x均成立，
∴函数f（x）一定是Ω函数；
（Ⅲ）证明：由题意可知f（x）的定义域为R，
∵f（x）=ln（x²+a）-lna=ln（

x2

a

+1），a＞0，
∴

x2

a

+1＞1，f（x）＞0，则|f（x）|=f（x），
令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|
∴当x≥0时，g（x）=f（x）-x，g′（x）=f′（x）-1=

2x

x2+a

-1=

(x-1)2+1-a

x2+a

＜0．
∴g（x）在[0，+∞）上为减函数；
当x＜0时，g（x）=f（x）+x，g′（x）=f′（x）+1=

2x

x2+a

+1=

(x+1)2-1+a

x2+a

＞0，
∴g（x）在（-∞，0）为增函数，
∴g（x）在x=0处取得极大值，同时也为最大值，
∴g（x）≤g（0）=lna-lna=0，
即|f（x）|-|x|≤0在x∈R恒成立，即|f（x）|≤|x|在x∈R恒成立．
∴函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

点评：本题新定义问题，对于新定义问题，解题时要抓住所给的定义进行解题，将问题转化成所学知识的考查．本题考查函数的恒成立问题以及利用导数求闭区间上的最值问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题考查了化归与转化的数学思想方法，综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，难度大．属于难题．