Question

【题目】如图，在三棱锥中，，其余棱长均为是棱上的一点，分别为棱的中点．

（1）求证: 平面平面；

（2）若平面，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．

详解：（1）证明：如图，连结PE．

因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，

所以PE⊥BC，

且PE＝，同理AE＝．

因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．

因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC 平面ABC，

所以PE ⊥平面ABC．

因为PE平面PBC，

所以平面PBC⊥平面ABC．

（2）如图，连接CD交AE于O，连接OM．

因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，

所以PD∥OM， 所以．

因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，

所以O为ABC重心，所以，

所以PM＝PC＝．