题目内容
已知向量
=（cos2x，a），
=（a，2+
sin2x），函数f（x）=
•
-5（a∈R，a≠0）
（1）求函数f(x)在[0，
]上的最大值
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值，（不必证明），并求函数y=f（x）在（0，b]上的单调递增区间．
| p |
| q |
| 3 |
| p |
| q |
（1）求函数f(x)在[0，
| π |
| 2 |
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值，（不必证明），并求函数y=f（x）在（0，b]上的单调递增区间．
分析：（1）把向量的坐标代入
•
，再由两角和的正弦公式对解析式整理，再由x∈[0，
]求出2x+
∈[
，
]，再由正弦函数的性质求出sin(2x+
)∈[-
，1]，最后再对a进行分类求出对应的最大值；
（2）把a的值代入求出函数的周期，再由条件和正弦函数图象和性质求出b的值，再由正弦函数的单调区间和整体思想求出增区间，再结合x的范围求出增区间．
| p |
| q |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
（2）把a的值代入求出函数的周期，再由条件和正弦函数图象和性质求出b的值，再由正弦函数的单调区间和整体思想求出增区间，再结合x的范围求出增区间．
解答：解：（1）由题意得f（x）=
•
-5
=acos2x+
asin2x+2a-5
=2asin(2x+
)+2a-5，
∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，
∴sin(2x+
)∈[-
，1]，
当a＞0时，f（x）的最大值为4a-5，
当a＜0时，f（x）的最大值为a-5，
（2）当a=2时，y=f(x)=-4sin(2x+
)-1，
∴函数的最小正周期为π，
∵函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，
∴-4sin(2x+
)-1=-1，即-4sin(2x+
)=0在∈（t，t+b]上有且仅有两个不同的实根，
∴b的值为π，
由
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ得，
+kπ≤x≤
+kπ，（k∈Z）
∵x∈[0，π]，∴k=0，
函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[
，
]．
| p |
| q |
=acos2x+
| 3 |
=2asin(2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴sin(2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
当a＞0时，f（x）的最大值为4a-5，
当a＜0时，f（x）的最大值为a-5，
（2）当a=2时，y=f(x)=-4sin(2x+
| π |
| 6 |
∴函数的最小正周期为π，
∵函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，
∴-4sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴b的值为π，
由
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∵x∈[0，π]，∴k=0，
函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查了数量积的坐标公式应用，以及正弦函数的性质应用，考查了分类讨论思想和整体思想．
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