Question

已知向量

p

=(2cosωx+2sinωx，f(x))，

q

=(1，cosωx)，ω＞0且

p

∥

q

，函数f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离是2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）为偶函数，求g（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（I）利用向量共线条件，确定函数解析式，即可求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）先确定函数g（x）的解析式，即可求g（x）的最大值及相应的x值．

解答：解：（Ⅰ）∵

p

∥

q

，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx=2cos²ωx+2sinωxcosωx=1+cos2ωx+sin2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+1…（3分）
由题设可知，函数f（x）的周期T=4π，则ω=

1

4

…（4分）
则f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+1
由2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，其中k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间是[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．…（7分）
（Ⅱ）g(x)=f(x+?)=

2

sin(

x+?

2

+

π

4

)+1，
∵g（x）为偶函数，∴图象关于y轴为对称轴
将x=0代入，得sin(

?

2

+

π

4

)=±1，则有

?

2

+

π

4

=kπ+

π

2

⇒?=2kπ+

π

2

又∵?∈（0，π），∴?=

π

2

…（9分）
则g(x)=

2

sin(

x

2

+

π

2

)+1=

2

cos

x

2

+1…（10分）
当cos

x

2

=1，时，函数g（x）取得最大值

2

+1
此时

x

2

=2kπ⇒x=4kπ，其中k∈Z．…（12分）

点评：本题考查向量知识，考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，属于中档题．