Question

已知向量

p

=（-cos 2x，a），

q

=（a，2-

3

sin 2x），函数f（x）=

p

•

q

-5（a∈R，a≠0）．
（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值（不必证明），并求函数y=f（x）的在[0，b]上单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，对a讨论，即可求得函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）由题设函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点及函数y=f（x）的最小正周期为π可知，b的值为π，利用正弦函数的单调性，可求函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=

p

•

q

-5=-acos2x-

3

asin2x+2a-5=-2asin(2x+

π

6

)+2a-5．…（2分）
因为x∈R，所以-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
当a＞0时，-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
所以f（x）的值域为[-5，4a-5]．…（4分）
同理，当a＜0时，f（x）的值域为[4a-5，-5]．…（6分）
（2）当a=2时，y=f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，由题设函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点及函数y=f（x）的最小正周期为π可知，b的值为π．…（8分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．…（10分）
因为x∈[0，π]，所以k=0，
∴函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[

π

6

，

2π

3

]．…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于中档题．