Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角为（ ）

A．arccos
B．arccos
C．arccos
D．arccos

Answer 1

【答案】分析：解法一：
求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题可采用向量方法求解：因为=+，=+，所以•=．而||=．同理，||=．
则由数量积运算即可得直线AM与CN所成的角的大小．
解法二：
分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，把D点视作原点O，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）．所以=（0，，1），=（1，0，）．故•=，||=，||=．
则由数量积运算即可得直线AM与CN所成的角的大小．
解答：解：法一：∵=+，=+，
∴•=（+）•（+）=•=．
而||====．
同理，||=．
如令α为所求之角，则cosα===，∴α=arccos．
故选D．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D点视作原点O，
分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
则A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）．
∴=（0，，1），=（1，0，）．
故•=0×1+×0+1×=，
||==，
||==．
∴cosα===．
∴α=arccos．
故选D．
点评：本题主要考查了异面直线所成的角，空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．