Question

【题目】已知椭圆E： 的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析： 方法一，求出，椭圆方程和顶点，设出直线的方程，代入椭圆方程，求交点，运用弦长公式求得，由垂直的条件可得，再由，解得，运用三角形的面积公式可得的面积；

方法二：运用椭圆的对称性，可得直线的斜率为，求得的方程代入椭圆方程，解方程可得， 的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到

直线的方程为，代入椭圆方程，求得交点，得， ，再由

，求出，再由椭圆的性质可得，解不等式即可得到所求范围。

解析：（1）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），

直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得x=﹣2或x=﹣，则|AM|=|2﹣|=，

由AN⊥AM，可得|AN|==，

由|AM|=|AN|，k＞0，可得=，

整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，

即有△AMN的面积为|AM|2=（）2=；

方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，

由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，

代入椭圆方程+=1，可得7x2+16x+4=0，

解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），

则△AMN的面积为××（﹣+2）=；

（2）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，

可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2﹣3t=0，

解得x=﹣或x=﹣，

即有|AM|=|﹣|=，

|AN|═=，

由2|AM|=|AN|，可得2=，整理得t=，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，

可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．