Question

【题目】已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线恒过一定点.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为 ，抛物线的方程为；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可知，结合椭圆的性质得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可知椭圆的方程为 ，抛物线的方程为.

(2)由题意设直在x轴的截距方程： ，联立直线方程与抛物线方程可得，结合斜率公式可得直线的方程为，整理变形即： ，据此可知直线恒过定点.

试题解析：

(1)设椭圆的半焦距为，依题意，可得，则，

代入，得，即，所以，

则有，

所以椭圆的方程为 ，抛物线的方程为.

（2）依题意，可知直线的斜率不为0，可设，

联立 ，得，设，则，

，得或， ，

所以直线的斜率，

可得直线的方程为，

即

，所以当或时，直线恒过定点.